第 3 章解答题 9

依赖于

第 3 章解答题 9

设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足：
$(A + B)^{2} = A + B, r (A + B) = r (A) + r (B),$
求证：
$A^{2} = A, B^{2} = B, A B = B A = O .$

由例 3.70 可得

n = r (A + B) + r (I_{n} - A - B) = r (A) + r (B) + r (I_{n} - A - B) .

构造如下分块对角阵，并对其实施分块初等变换，可得

A O O O B O O O I_{n} - A - B \to A O A O B B O O I_{n} - A - B \to A O A O B B A B I_{n} \to

A - A^{2} - B A A - A B B - B^{2} B O O I_{n} \to A - A^{2} - B A O - A B B - B^{2} O O O I_{n} .

注意到分块初等变换不改变矩阵的秩，故可得

r (A - A^{2} - B A - A B B - B^{2}) = 0,

从而 $A^{2} = A, B^{2} = B, A B = B A = O$ 。