第 3 章解答题 7

依赖于

• 例 3.70

被以下题目直接调用

• 无

第 3 章解答题 7

已知矩阵 $B_i(1\le i\le k)$ 是 $n$ 阶幂等矩阵，即 $B_i^2=B_i$，又 $A=B_1\cdots B_k$，求证：

$$r(I_n-A)\le k(n-r(A)).$$

解答

由 $A=B_1\cdots B_k$ 可得 $r(A)\le r(B_i)$。因为 $B_i$ 是幂等矩阵，故由例 3.70 可得

$$r(I_n-B_i)=n-r(B_i).$$

注意到

$$I_n-A=(I_n-B_1)+B_1(I_n-B_2)+\cdots +B_1\cdots B_{k-1}(I_n-B_k),$$

故

$$r(I_n-A)\le \sum _{i=1}^{k}r(I_n-B_i)=\sum _{i=1}^k(n-r(B_i))\le k(n-r(A)).$$