例 3.94

依赖于

• 例 3.91
• 例 3.92

被以下题目直接调用

• 无

例 3.94

设 $A,B$ 分别是 $3\times 2,2\times 3$ 矩阵且满足

$$AB=\left(\begin{array}{ccc}8& 2& -2\\ 2& 5& 4\\ -2& 4& 5\end{array}\right),$$

试求 $BA$。

解答

解法 1 通过简单的计算可得 $\mathrm{r}(AB)=2$，从而 $\mathrm{r}(A)\ge 2,\mathrm{r}(B)\ge 2$。又因为矩阵的秩不超过行数和列数的最小值，故 $\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(B)=2$，即 $A$ 是列满秩阵，$B$ 是行满秩阵。再通过简单的计算可得

$$(AB{)}^2=9AB,$$

经整理可得

$$A(BA-9I_2)B=O.$$

根据例 3.91 的推论，可以在上式的左边消去 $A$，右边消去 $B$，从而可得

$$BA=9I_2.$$

解法 2 由解法 1 中矩阵秩的计算可知，$AB$ 是题中 $3$ 阶矩阵 $C$ 的满秩分解。注意到 $C$ 的后两列线性无关，因此可取另一种满秩分解为

$$C=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)=A_1{B}_1.$$

由例 3.92 可知，$BA$ 相似于 $B_1{A}_1=9I_2$，从而

$$BA=P^{-1}(9I_2)P=9I_2.$$