例 3.89

依赖于

例 3.89

求证：秩等于 $r$ 的矩阵可以表示为 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和，但不能表示为少于 $r$ 个秩为 1 的矩阵之和。

证明将 $A$ 化为相抵标准型，即存在非异矩阵 $P$ 及 $Q$ ，使得

A = P (I_{r} O O O) Q .

矩阵

(I_{r} O O O)

显然可以化为 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和，记为 $A_{1} + A_{2} + \dots + A_{r}$ ，则

A = P A_{1} Q + P A_{2} Q + \dots + P A_{r} Q,

每个 $P A_{i} Q$ 秩都等于 1。

若 $A = B_{1} + B_{2} + \dots + B_{k}, k < r$ ，且每个 $B_{i}$ 的秩都等于 1，则由例 3.64 可知

r (A) \leq r (B_{1}) + r (B_{2}) + \dots + r (B_{k}) = k,

这与 $r (A) = r$ 矛盾，故不可能。