例 3.86

依赖于

• 例 3.13
• 例 3.20

被以下题目直接调用

• 例 3.87

例 3.86

设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的 $m$ 个行向量为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，且 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 是其极大无关组，又设 $A$ 的 $n$ 个列向量为 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$，且 ${\beta }_{j_1},{\beta }_{j_2},\cdots ,{\beta }_{j_r}$ 是其极大无关组。证明：${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 和 ${\beta }_{j_1},{\beta }_{j_2},\cdots ,{\beta }_{j_r}$ 交叉点上的元素组成的子矩阵 $D$ 的行列式 $|D|\ne 0$。

解答

证明 因为 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 是极大无关组，故 $A$ 的任一行向量 ${\alpha }_s$ 均可表示为 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 的线性组合。记 ${\tilde{\alpha }}_{i_1},{\tilde{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\tilde{\alpha }}_{i_r},{\tilde{\alpha }}_s$ 分别是 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r},{\alpha }_s$ 在 $j_1,j_2,\cdots ,j_r$ 列处的缩短向量，由例 3.13 可知，${\tilde{\alpha }}_s$ 均可表示为 ${\tilde{\alpha }}_{i_1},{\tilde{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\tilde{\alpha }}_{i_r}$ 的线性组合。考虑由列向量 ${\beta }_{j_1},{\beta }_{j_2},\cdots ,{\beta }_{j_r}$ 组成的矩阵

$$B=({\beta }_{j_1},{\beta }_{j_2},\cdots ,{\beta }_{j_r}),$$

这是一个 $m\times r$ 矩阵且秩等于 $r$。由于矩阵 $B$ 的任一行向量 ${\tilde{\alpha }}_s$ 均可用 ${\tilde{\alpha }}_{i_1},{\tilde{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\tilde{\alpha }}_{i_r}$ 线性表示，并且 $B$ 的行秩等于 $r$，故由例 3.20 可知，${\tilde{\alpha }}_{i_1},{\tilde{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\tilde{\alpha }}_{i_r}$ 是 $B$ 的行向量的极大无关组，从而它们线性无关。注意到 $r$ 阶方阵 $D$ 的行向量恰好是 ${\tilde{\alpha }}_{i_1},{\tilde{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\tilde{\alpha }}_{i_r}$，因此 $D$ 是满秩阵，从而 $|D|\ne 0$。