例 3.80

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.81

例 3.80

设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 满足：$|A|=0$ 且某个元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}\ne 0$。求证：齐次线性方程组 $Ax=0$ 的所有解都可写为下列形式：

$$k\left(\begin{array}{c}{A}_{i1}\\ A_{i2}\\ ⋮\\ A_{in}\end{array}\right),k\in \mathbb{K}.$$

解答

证明 显然 $A$ 的秩等于 $n-1$，因此线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系只含一个向量。注意到 $|A|=0$，故

$$A{A}^{\ast }=|A|I_n=O,$$

于是伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的任一列向量都是 $Ax=0$ 的解，又已知 $A_{ij}\ne 0$，因此 $A^{\ast }$ 的第 $i$ 个列向量 $(A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{in}{)}^{\prime }$ 是 $Ax=0$ 的基础解系。