例 3.78

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• 无显式依赖

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• 例 3.79

例 3.78

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times k$ 矩阵，证明：方程组 $ABx=0$ 和方程组 $Bx=0$ 同解的充要条件是

$$\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(B).$$

解答

证明 显然方程组 $Bx=0$ 的解都是方程组 $ABx=0$ 的解，即 $V_B\subseteq V_{AB}$，于是两个线性方程组同解，即 $V_B=V_{AB}$ 的充要条件是 $\dim V_B=\dim V_{AB}$。又

$$\dim V_B=k-\mathrm{r}(B),\dim V_{AB}=k-\mathrm{r}(AB),$$

因此上述两个方程组同解的充要条件是 $\mathrm{r}(AB)=\mathrm{r}(B)$。