例 3.79

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• 例 3.78

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• 无

例 3.79

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times k$ 矩阵。若 $AB$ 和 $B$ 有相同的秩，求证：对任意的 $k\times l$ 矩阵 $C$，矩阵 $ABC$ 和矩阵 $BC$ 也有相同的秩。

解答

证法 1 由假设和例 3.78 可知，方程组 $ABx=0$ 和方程组 $Bx=0$ 同解。要证明 $\mathrm{r}(ABC)=\mathrm{r}(BC)$，我们只要证明方程组 $ABCx=0$ 和方程组 $BCx=0$ 同解即可。显然方程组 $BCx=0$ 的解都是方程组 $ABCx=0$ 的解。反之，若列向量 $\alpha$ 是方程组 $ABCx=0$ 的解，则 $C\alpha$ 是方程组 $ABx=0$ 的解，因此 $C\alpha$ 也是方程组 $Bx=0$ 的解，即 $BC\alpha =0$，于是 $\alpha$ 也成为方程组 $BCx=0$ 的解。这就证明了方程组 $ABCx=0$ 和方程组 $BCx=0$ 同解，从而结论得证。

证法 2 由 Frobenius 不等式可得

$$\mathrm{r}(ABC)\ge \mathrm{r}(AB)+\mathrm{r}(BC)-\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(BC),$$

又因为 $\mathrm{r}(ABC)\le \mathrm{r}(BC)$，故结论得证。