例 3.68

依赖于

例 3.66

被以下题目直接调用

例 3.68

设 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 为 $n$ 阶方阵，求证：
$r (A_{1}) + r (A_{2}) + \dots + r (A_{m}) \leq (m - 1) n + r (A_{1} A_{2} \dots A_{m}) .$
特别地，若 $A_{1} A_{2} \dots A_{m} = O$ ，则
$r (A_{1}) + r (A_{2}) + \dots + r (A_{m}) \leq (m - 1) n .$

解答

证明反复利用例 3.66 可得

r (A_{1}) + r (A_{2}) + r (A_{3}) + \dots + r (A_{m}) \leq n + r (A_{1} A_{2}) + r (A_{3}) + \dots + r (A_{m}) \leq 2 n + r (A_{1} A_{2} A_{3}) + \dots + r (A_{m}) \leq \dots \leq (m - 1) n + r (A_{1} A_{2} \dots A_{m}) .

我们还可以将 Sylvester 不等式进行如下的推广。

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