例 3.67

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• 例 3.66

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例 3.67

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，满足 $AB=O$。证明：若 $n$ 是奇数，则 $A{B}^{\prime }+A^{\prime }B$ 必为奇异阵；若 $n$ 为偶数，举例说明上述结论一般不成立。

解答

证明 由例 3.66 的推论可知，$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)\le n$。若 $n$ 为奇数，则 $\mathrm{r}(A),\mathrm{r}(B)$ 中至少有一个小于等于 $\frac{n}{2}$，从而小于等于 $\frac{n-1}{2}$。不妨设 $\mathrm{r}(A)\le \frac{n-1}{2}$，于是

$$\mathrm{r}(A{B}^{\prime }+A^{\prime }B)\le \mathrm{r}(A{B}^{\prime })+\mathrm{r}(A^{\prime }B)\le \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(A^{\prime })=2\mathrm{r}(A)\le n-1,$$

从而 $A{B}^{\prime }+A^{\prime }B$ 为奇异阵。例如，当 $n=2$ 时，令

$$A=B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),$$

则 $AB=O$，但 $A{B}^{\prime }+A^{\prime }B=I_2$ 为非异阵。