例 3.54

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• 例 3.55
• 例 4.32

例 3.54

设 $V_1,V_2,\cdots ,V_m$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上向量空间 $V$ 的 $m$ 个真子空间，证明：在 $V$ 中必存在一个向量 $\alpha$，它不属于任何一个 $V_i$。

解答

证明 对个数 $m$ 进行归纳，当 $m=1$ 时结论显然成立。设 $m=k$ 时结论成立，现要证明 $m=k+1$ 时结论也成立。由归纳假设，存在向量 $\alpha$，它不属于任何一个 $V_i(1\le i\le k)$。若 $\alpha$ 也不属于 $V_{k+1}$，则结论已成立，因此可设 $\alpha \in V_{k+1}$。在 $V_{k+1}$ 外选一个向量 $\beta$，作集合 $M=\{t\alpha +\beta \mid t\in \mathbb{F}\}$。事实上，我们可将 $M$ 看成是通过 $\beta$ 的终点且平行于 $\alpha$ 的一根“直线”，现要证明它和每个 $V_i$ 最多只有一个交点。首先，$M$ 和 $V_{k+1}$ 无交点，因为若 $t\alpha +\beta \in V_{k+1}$，则从 $t\alpha \in V_{k+1}$ 可推出 $\beta \in V_{k+1}$，与假设矛盾。又若对某个 $V_i(i<k+1)$，存在 $t_1\ne t_2$，使得 $t_1\alpha +\beta \in V_i$，$t_2\alpha +\beta \in V_i$，则 $(t_1-t_2)\alpha \in V_i$，从而导致 $\alpha \in V_i$，与假设矛盾。因此，$M$ 中只有有限个向量属于 $V_i$ 的并集，而 $t$ 有无穷多个选择，由此即得结论。

\par注 上述证明要用到任意一个数域都有无穷个元素这一事实。因此，对于有限域（读者以后可能会学到）上的向量空间，上例结论不一定成立。