例 3.46

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• 例 3.47

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例 3.46

设 $V=M_n(\mathbb{K})$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵全体组成的线性空间，$A\in V$，求证：与 $A$ 乘法可交换的矩阵全体 $C(A)$ 组成 $V$ 的子空间且其维数不为零。又若 $T$ 是 $V$ 的非空子集，求证：与 $T$ 中任一矩阵乘法可交换的矩阵全体 $C(T)$ 也构成 $V$ 的子空间且其维数不为零。

解答

证明 由于纯量阵 $c{I}_n$ 与任一 $n$ 阶矩阵 $A$ 乘法可交换，故 $L(I_n)\subseteq C(A)$。任取 $B,C\in C(A)$，$k\in \mathbb{K}$，容易验证 $B+C\in C(A)$，$kB\in C(A)$，故 $C(A)$ 是 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间且其维数不为零。$C(T)$ 的结论同理可证。

下面的例 3.47 给出了求子空间的和空间以及交空间的矩阵方法。对抽象的线性空间，可将它等同于行（列）向量空间，然后用矩阵方法来求解，这样做往往比较简便。