例 3.47

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• 例 3.46
• 第 3 章解答题 5

例 3.47

设 ${\alpha }_1=(1,0,-1,0)$，${\alpha }_2=(0,1,2,1)$， ${\alpha }_3=(2,1,0,1)$ 是四维实行向量空间 $V$ 中的向量，它们生成的子空间为 $V_1$，又向量 ${\beta }_1=(-1,1,1,1)$，${\beta }_2=(1,-1,-3,-1)$， ${\beta }_3=(-1,1,-1,1)$ 生成的子空间为 $V_2$，求子空间 $V_1+V_2$ 和 $V_1\cap V_2$ 的基。

解答

解法 1 $V_1+V_2$ 是由 ${\alpha }_i$ 和 ${\beta }_i$ 生成的，因此只要求出这 6 个向量的极大无关组即可。将这 6 个向量按列分块方式排成矩阵，并用初等行变换将其化为阶梯形矩阵：

$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& -1& 1& -1\\ 0& 1& 1& 1& -1& 1\\ -1& 2& 0& 1& -3& -1\\ 0& 1& 1& 1& -1& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& -1& 1& -1\\ 0& 1& 1& 1& -1& 1\\ 0& 2& 2& 0& -2& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& -1& 1& -1\\ 0& 1& 1& 1& -1& 1\\ 0& 0& 0& -2& 0& -4\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

故可取 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1$ 为 $V_1+V_2$ 的基（不唯一）。

再来求 $V_1\cap V_2$ 的基。首先注意到 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是 $V_1$ 的基（从上面的矩阵即可看出），又不难验证 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 是 $V_2$ 的基，$V_2$ 中的向量可以表示为 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 的线性组合。假设 $t_1{\beta }_1+t_2{\beta }_2$ 属于 $V_1$，则向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,t_1{\beta }_1+t_2{\beta }_2$ 和向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 的秩相等（因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是 $V_1$ 的基）。因此，我们可以用矩阵方法求出参数 $t_1,t_2$。注意到

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -t_1+t_2\\ 0& 1& t_1-t_2\\ -1& 2& t_1-3t_2\\ 0& 1& t_1-t_2\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -t_1+t_2\\ 0& 1& t_1-t_2\\ 0& 2& -2t_2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -t_1+t_2\\ 0& 1& t_1-t_2\\ 0& 0& -2t_1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$

故可得 $t_1=0$，所以 $V_1\cap V_2$ 的基可取为 ${\beta }_2$。

解法 2 求 $V_1+V_2$ 的基同解法 1，现用解线性方程组的方法来求 $V_1\cap V_2$ 的基。因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是 $V_1$ 的基，${\beta }_1,{\beta }_2$ 是 $V_2$ 的基，故对任一向量 $\gamma \in V_1\cap V_2$，$\gamma =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=(-x_3){\beta }_1+(-x_4){\beta }_2$。因此，求向量 $\gamma$ 等价于求解线性方程组

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\beta }_1+x_4{\beta }_2=0.$$

通过初等行变换将其系数矩阵 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2)$ 进行化简：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

故上述线性方程组的通解为 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=k(-1,1,0,1)$，从而 $\gamma =-k({\alpha }_1-{\alpha }_2)=-k{\beta }_2(k\in \mathbb{R})$，于是 ${\beta }_2$ 是 $V_1\cap V_2$ 的基。

要证明向量空间 $V$ 是其子空间 $V_1,V_2$ 的直和，只需证明两件事：一是证明 $V$ 中任一向量均可表示为 $V_1$ 与 $V_2$ 中向量之和，即 $V=V_1+V_2$；二是证明 $V_1$ 与 $V_2$ 的交等于零。下面是两个典型的例子。