例 3.45

依赖于

• 无显式依赖

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• 第 7 章解答题 11

例 3.45

设 $V$ 是次数不超过 $n$ 的实系数多项式全体组成的线性空间，求从基 $\{1,x,x^2,\cdots ,x^n\}$ 到基 $\{1,x-a,(x-a{)}^2,\cdots ,(x-a{)}^n\}$ 的过渡矩阵，并以此证明多项式的 Taylor 公式：

$$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n,$$

其中 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $n$ 次导数。

解答

解 过渡矩阵（$n+1$ 阶）容易求出为

$$P=\left(\begin{array}{ccccc}1& -a& a^2& \cdots & (-1{)}^n{a}^n\\ 0& 1& -2a& \cdots & (-1{)}^{n-1}n{a}^{n-1}\\ 0& 0& 1& \cdots & (-1{)}^{n-2}\frac{n(n-1)}{2!}{a}^{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right).$$

注意 $P$ 的逆矩阵 $P^{-1}$ 可通过变换 $x\to (x+a)$ 马上得到（不必用初等变换法求逆矩阵）：

$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}1& a& a^2& \cdots & a^n\\ 0& 1& 2a& \cdots & n{a}^{n-1}\\ 0& 0& 1& \cdots & \frac{n(n-1)}{2!}{a}^{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right).$$

设 $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$，则 $f(x)$ 在基 $\{1,x-a,(x-a{)}^2,\cdots ,(x-a{)}^n\}$ 下的坐标向量为

$$P^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& a& a^2& \cdots & a^n\\ 0& 1& 2a& \cdots & n{a}^{n-1}\\ 0& 0& 1& \cdots & \frac{n(n-1)}{2!}{a}^{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f(a)\\ \frac{f^{\prime }(a)}{1!}\\ ⋮\\ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\end{array}\right),$$

由此即得结论。