第 7 章解答题 11

依赖于

• 例 3.45

被以下题目直接调用

• 无

第 7 章解答题 11

设 $J_n(a)$ 是特征值为 $a$ 的 $n$ 阶 Jordan 块，又 $f(x)$ 是一个多项式，求证：

$$f(J_n(a))=\left(\begin{array}{ccccc}f(a)& \frac{f^{\prime }(a)}{1!}& \frac{f^{(2)}(a)}{2!}& \cdots & \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}\\ & f(a)& \frac{f^{\prime }(a)}{1!}& \cdots & \frac{f^{(n-2)}(a)}{(n-2)!}\\ & & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & \ddots & \frac{f^{\prime }(a)}{1!}\\ & & & & f(a)\end{array}\right).$$

解答

对多项式 $f(x)$ 进行 Taylor 展开（参考例 3.45）：

$$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x-a{)}^m,$$

其中 $m=\mathrm{deg}f(x)$。将 $x=A$ 代入上式，注意到当 $m<n$ 时， $\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(A-a{I}_n{)}^i=O(i>m)$；当 $m\ge n$ 时， $\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(A-a{I}_n{)}^i=O(i\ge n)$，因此我们总有

$$f(A)=f(a)I_n+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(A-a{I}_n)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(A-a{I}_n{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(A-a{I}_n{)}^{n-1}.$$