例 3.38

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 3 章填空题 7

例 3.38

设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，问： $\{e_1,e_1+e_2,\cdots ,e_1+e_2+\cdots +e_n\}$ 是否也是 $V$ 的基？

答 将 $\{e_1,e_1+e_2,\cdots ,e_1+e_2+\cdots +e_n\}$ 对应的坐标向量排成如下矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right).$$

显然，$|A|=1$，从而 $A$ 是满秩阵，于是 $\{e_1,e_1+e_2,\cdots ,e_1+e_2+\cdots +e_n\}$ 也是 $V$ 的一组基。

解答

（源码中本题没有识别到单独的“证明/解/解答”段；题目与解答可能在上方原文中连排。）