例 3.32

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• 问题 2021A14
• 问题 2023S02

例 3.32

设 ${\mathbb{K}}_1,{\mathbb{K}}_2,{\mathbb{K}}_3$ 是数域且 ${\mathbb{K}}_1\subseteq {\mathbb{K}}_2\subseteq {\mathbb{K}}_3$。若将 ${\mathbb{K}}_2$ 看成是 ${\mathbb{K}}_1$ 上的线性空间，其维数为 $m$，又将 ${\mathbb{K}}_3$ 看成是 ${\mathbb{K}}_2$ 上的线性空间，其维数为 $n$，求证：如将 ${\mathbb{K}}_3$ 看成是 ${\mathbb{K}}_1$ 上的线性空间，则其维数为 $mn$。

解答

证明 ${\mathbb{K}}_2$ 作为 ${\mathbb{K}}_1$ 上的线性空间，取其一组基为 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$；${\mathbb{K}}_3$ 作为 ${\mathbb{K}}_2$ 上的线性空间，取其一组基为 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\}$。注意到 ${\alpha }_i,{\beta }_j$ 都是数，现在我们断言： ${\mathbb{K}}_3$ 作为 ${\mathbb{K}}_1$ 上的线性空间，$\{{\alpha }_i{\beta }_j(1\le i\le m,1\le j\le n)\}$ 恰为其一组基。

一方面，对 ${\mathbb{K}}_3$ 中任一数 $a$，存在 ${\mathbb{K}}_2$ 中的数 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$，使得

$$a=b_1{\beta }_1+b_2{\beta }_2+\cdots +b_n{\beta }_n.$$

又对 $b_j\in {\mathbb{K}}_2$，存在 ${\mathbb{K}}_1$ 中的数 $c_{1j},c_{2j},\cdots ,c_{mj}$，使得

$$b_j=c_{1j}{\alpha }_1+c_{2j}{\alpha }_2+\cdots +c_{mj}{\alpha }_m,1\le j\le n.$$

将上述两式进行整理，可得

$$a=\sum _{j=1}^n{b}_j{\beta }_j=\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^m{c}_{ij}{\alpha }_i\right){\beta }_j=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{c}_{ij}{\alpha }_i{\beta }_j,$$

即 ${\mathbb{K}}_3$ 中任一数均可由 $\{{\alpha }_i{\beta }_j(1\le i\le m,1\le j\le n)\}$ 线性表示。

另一方面，设有 ${\mathbb{K}}_1$ 中的数 $k_{ij}(1\le i\le m,1\le j\le n)$，使得

$$\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{k}_{ij}{\alpha }_i{\beta }_j=0,$$

则经过变形可得

$$\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^m{k}_{ij}{\alpha }_i\right){\beta }_j=0.$$

注意到 $\sum _{i=1}^m{k}_{ij}{\alpha }_i\in {\mathbb{K}}_2$ 且 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 是 ${\mathbb{K}}_3$ 作为 ${\mathbb{K}}_2$ 上线性空间的一组基，故有

$$\sum _{i=1}^m{k}_{ij}{\alpha }_i=0(1\le j\le n).$$

又因为 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 是 ${\mathbb{K}}_2$ 作为 ${\mathbb{K}}_1$ 上线性空间的一组基，故有 $k_{ij}=0(1\le i\le m,1\le j\le n)$，即 $\{{\alpha }_i{\beta }_j(1\le i\le m,1\le j\le n)\}$ 是 ${\mathbb{K}}_1$-线性无关的。

综上所述，$\{{\alpha }_i{\beta }_j(1\le i\le m,1\le j\le n)\}$ 是 ${\mathbb{K}}_3$ 作为 ${\mathbb{K}}_1$ 上线性空间的一组基，特别地，

$${\dim }_{{\mathbb{K}}_1}{\mathbb{K}}_3=mn={\dim }_{{\mathbb{K}}_1}{\mathbb{K}}_2\cdot {\dim }_{{\mathbb{K}}_2}{\mathbb{K}}_3.$$

注 设 $\mathbb{F}\subseteq \mathbb{K}$ 为数域，$\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，一组基为 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$；设 $V$ 为 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间，一组基为 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$。由与例 3.32 完全类似的证明可知，$V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $mn$ 维线性空间，一组基可选择为 $\{{\alpha }_i{e}_j(1\le i\le m,1\le j\le n)\}$。