问题 2021A14

依赖于

• 例 3.32
• 例 2.71

被以下题目直接调用

• 无

问题 2021A14

设 V 是 n 维复线性空间, $\phi$ 是 V 上的线性变换. 证明: 可将 V 看成是 2n 维实线性空间 $V_0$ , $\phi$ 看成是 $V_0$ 上的实线性变换 ${\phi }_0$ , 并且 $\det ({\phi }_0)=|\det (\phi ){|}^2$ , 其中 $|\cdot |$ 表示复数的模长.

注因为线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的, 并且相似的矩阵有相同的行列式, 所以线性变换的行列式定义为它的任一表示矩阵的行列式.

解答

设 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 是 V 的一组基， $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $A\in M_n(\mathbb{C})$，并且 $A=ReA+iImA$ 为矩阵 A 的实虚部加法分解。若将 V 看成是实数域上的线性空间 $V_0,\phi$ 看成是 $V_0$ 上的线性变换 ${\phi }_0$，则由例 3.32 的注可知，$e_1,e_2,\cdots ,e_n,i{e}_1,i{e}_2,\cdots ,i{e}_n$ 是 $V_0$ 的一组基，并且由表示矩阵的定义可知 ${\phi }_0$ 在这组基下的表示矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{Re}A& -\mathrm{Im}A\\ \mathrm{Im}A& \mathrm{Re}A\end{array}\right)$. 由例 2.71可知

$$\begin{array}{l}\det ({\phi }_0)=\left|\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\mathbf{A}& -\mathrm{Im}\mathbf{A}\\ \mathrm{Im}\mathbf{A}& \mathrm{Re}\mathbf{A}\end{array}\right|=|\mathrm{Re}\mathbf{A}+\mathrm{i}\mathrm{Im}\mathbf{A}||\mathrm{Re}\mathbf{A}-\mathrm{i}\mathrm{Im}\mathbf{A}|=|\mathbf{A}||\overline{\mathbf{A}}|\\ =\det (\phi )\overline{\det (\phi )}=|\det (\phi ){|}^2.\end{array}$$

本题的推广可参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/15088633.html.