例 3.13

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.85
• 例 3.86

例 3.13

设 $\{{\alpha }_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}),1\le i\le m\}$ 是一组 $n$ 维行向量， $1\le j_1<j_2<\cdots <j_t\le n$ 是给定的 $t(t<n)$ 个指标。定义 ${\tilde{\alpha }}_i=(a_{i{j}_1},a_{i{j}_2},\cdots ,a_{i{j}_t})$，称 ${\tilde{\alpha }}_i$ 为 ${\alpha }_i$ 的 $t$ 维缩短向量。求证：

(1) 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关，则 ${\tilde{\alpha }}_1,{\tilde{\alpha }}_2,\cdots ,{\tilde{\alpha }}_m$ 也线性相关；

(2) 设 $n$ 维行向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合，则 $\tilde{\alpha }$ 也是 ${\tilde{\alpha }}_1,{\tilde{\alpha }}_2,\cdots ,{\tilde{\alpha }}_m$ 的线性组合。

解答

证明 (1) 由假设存在不全为零的数 $c_1,c_2,\cdots ,c_m$，使得

$$0=c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_m{\alpha }_m=\left(\sum _{i=1}^m{c}_i{a}_{i1},\sum _{i=1}^m{c}_i{a}_{i2},\cdots ,\sum _{i=1}^m{c}_i{a}_{in}\right).$$

在等式两边同时取 $t$ 维缩短向量，可得

$$0=\left(\sum _{i=1}^m{c}_i{a}_{i{j}_1},\sum _{i=1}^m{c}_i{a}_{i{j}_2},\cdots ,\sum _{i=1}^m{c}_i{a}_{i{j}_t}\right)=c_1{\tilde{\alpha }}_1+c_2{\tilde{\alpha }}_2+\cdots +c_m{\tilde{\alpha }}_m,$$

从而结论成立。

(2) 设 $\alpha =c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_m{\alpha }_m$，则由 (1) 的证明过程可得

$$\tilde{\alpha }=c_1{\tilde{\alpha }}_1+c_2{\tilde{\alpha }}_2+\cdots +c_m{\tilde{\alpha }}_m,$$

从而结论成立。$\square$