23 级高代 I 期中 05

依赖于

• 例 2.18

被以下题目直接调用

• 无

23 级高代 I 期中 05

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，满足

$$A{A}^{\prime }=I_n,|A|<0.$$

证明：

$$I_n+A$$

是奇异阵。

解答

本题与例 2.18 类似。下面直接用行列式性质证明。

由

$$A{A}^{\prime }=I_n$$

两边取行列式，得

$$|A||A^{\prime }|=1.$$

由于

$$|A^{\prime }|=|A|,$$

所以

$$|A{|}^2=1.$$

又已知 $|A|<0$，因此

$$|A|=-1.$$

接着计算：

$$\begin{array}{rl}|I_n+A|& =|A{A}^{\prime }+A|\\ & =|A(I_n+A^{\prime })|\\ & =|A||I_n+A^{\prime }|\\ & =-|(I_n+A{)}^{\prime }|\\ & =-|I_n+A|.\end{array}$$

于是

$$|I_n+A|=0.$$

所以 $I_n+A$ 是奇异阵。

参考：谢启鸿高等代数官方博客。