例 2.18

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• 23 级高代 I 期中 05

例 2.18

设 $A$ 是奇数阶方阵，满足 $A{A}^{\prime }=I_n$ 且 $|A|>0$，证明：$I_n-A$ 是奇异阵。

解答

证明 由 $1=|I_n|=|A{A}^{\prime }|=|A||A^{\prime }|=|A{|}^2$ 以及 $|A|>0$ 可得 $|A|=1$。因为

$$|I_n-A|=|A{A}^{\prime }-A|=|A||A^{\prime }-I_n|=|(A-I_n{)}^{\prime }|=|A-I_n|=(-1{)}^n|I_n-A|,$$

又 $n$ 是奇数，故 $|I_n-A|=-|I_n-A|$，从而 $|I_n-A|=0$，即 $I_n-A$ 是奇异阵。$\square$