16 级高代 I 期中 04

依赖于

• 例 2.38

被以下题目直接调用

• 无

16 级高代 I 期中 04

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶非零实矩阵, 其中 $n\ge 3$ 为奇数. 设 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式, 若对任意的 $1\le i,j\le n$ , $a_{ij}+A_{ij}=0$ 成立, 试求 $|\mathbf{A}|$ 的值.

解答

由于 A 非零, 故存在某个 $a_{kl}\ne 0$ . 注意到 $A_{ij}=-a_{ij}$ , 将 $|A|$ 按第 k 行展开可得

$$|A|=a_{k1}{A}_{k1}+\cdots +a_{kl}{A}_{kl}+\cdots +a_{kn}{A}_{kn}=-(a_{k1}^2+\cdots +a_{kl}^2+\cdots +a_{kn}^2)<0.$$

条件 $A_{ij}=-a_{ij}(1\le i,j\le n)$ 等价于 ${\mathbf{A}}^{\ast }=-{\mathbf{A}}^{\prime }$，于是由例 2.38可得 $|\mathbf{A}{|}^{n-1}=|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|-{\mathbf{A}}^{\prime }|=(-1{)}^n|\mathbf{A}|=-|\mathbf{A}|$，即有 $|\mathbf{A}{|}^{n-2}=-1$。由于 $|\mathbf{A}|<0$，故可得 $|\mathbf{A}|=-1$。