问题 2022A07

依赖于

• 例 2.8

被以下题目直接调用

• 无

问题 2022A07

设 S 是形如下列 n 阶分块上三角阵全体构成的集合, 其中所有分块矩阵的行列分块方式都是 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$ :

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& \dots & {\mathbf{A}}_{1k}\\ & {\mathbf{A}}_{22}& \dots & {\mathbf{A}}_{2k}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\mathbf{A}}_{kk}\end{array}\right).$$

证明: S 中矩阵的加法、数乘、乘法、求逆和求伴随得到的矩阵仍然在 S 中.

解答

本题是例 2.8 的分块矩阵版本. 容易验证 S 中分块上三角矩阵的加法、数乘和乘法得到的分块矩阵仍然在 S 中, 下面只证明求逆和求伴随得到的矩阵仍然在 S 中.

(1) 利用分块初等变换法求逆阵. 先用 $A_{ii}$ 以及第三类分块初等行变换消去同列的其他分块 $(i=k,k-1,\cdots ,1)$ ; 再用第二类分块初等行变换将第 $(i,i)$ 分块 $A_{ii}$ 变为 $I_{n_i}$ ; 最后得到左边为分块单位阵, 右边即为分块逆阵.

$$(\mathbf{A}\mid {\mathbf{I}}_n)=\left(\begin{array}{cccccccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& \dots & {\mathbf{A}}_{1k}& {\mathbf{I}}_{n_1}& & & \\ & {\mathbf{A}}_{22}& \dots & {\mathbf{A}}_{2k}& & {\mathbf{I}}_{n_2}& & \\ & & \ddots & ⋮& & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_{kk}& & & & {\mathbf{I}}_{n_k}\end{array}\right)$$ $$\to \left(\begin{array}{cccccccc}{I}_{n_1}& & & & A_{11}^{-1}& \ast & \dots & \ast \\ & I_{n_2}& & & & A_{22}^{-1}& \dots & \ast \\ & & \ddots & & & & \ddots & ⋮\\ & & & I_{n_k}& & & & A_{kk}^{-1}\end{array}\right).$$

因此, S 中分块上三角可逆矩阵的逆阵仍然在 S 中.

(2) 利用摄动法来讨论. 若 $A\in S$ 为可逆阵, 则由上面的结论可知

$${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{\prod }_{i\ne 1}|{\mathbf{A}}_{ii}|\cdot {\mathbf{A}}_{11}^{\ast }& \ast & \dots & \ast \\ & {\prod }_{i\ne 2}|{\mathbf{A}}_{ii}|\cdot {\mathbf{A}}_{22}^{\ast }& \dots & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\prod }_{i\ne k}|{\mathbf{A}}_{ii}|\cdot {\mathbf{A}}_{kk}^{\ast }\end{array}\right)\in S.$$

对任意的 $A\in S$，可取一列有理数 $t_j\to 0$，使得 $A+t_j{I}_n$ 均为可逆阵。由可逆阵的情形可知

$$(\mathbf{A}+t_j{\mathbf{I}}_n{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{B}}_{11}& \ast & \dots & \ast \\ & {\mathbf{B}}_{22}& \dots & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\mathbf{B}}_{kk}\end{array}\right),$$

其中 $B_{mm}={\prod }_{i\ne m}|A_{ii}+t_j{I}_{n_i}|\cdot (A_{mm}+t_j{I}_{n_m}{)}^{\ast }(1\le m\le k)$. 由伴随阵的定义可知, 上述分块上三角阵中任一分块 (包括 * 部分) 都是关于 $t_j$ 连续的. 令 $t_j\to 0$ , 取极限可得

$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{\prod }_{i\ne 1}|{\mathbf{A}}_{ii}|\cdot {\mathbf{A}}_{11}^{\ast }& \ast & \dots & \ast \\ & {\prod }_{i\ne 2}|{\mathbf{A}}_{ii}|\cdot {\mathbf{A}}_{22}^{\ast }& \dots & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\prod }_{i\ne k}|{\mathbf{A}}_{ii}|\cdot {\mathbf{A}}_{kk}^{\ast }\end{array}\right)\in S.$$