问题 2019A05

依赖于

• 例 1.14

被以下题目直接调用

• 无

问题 2019A05

求下列 n 阶方阵的行列式 (第四行的 $\dots$ 表示平移, 其余空白处元素都为零):

$$\left(\begin{array}{cccccccccc}{a}^2+bc& 2ab& b^2& & & & & & & \\ 2ac& a^2+2bc& 2ab& b^2& & & & & & \\ c^2& 2ac& a^2+2bc& 2ab& b^2& & & & & \\ & & & & \dots & & & & & \\ & & & & & c^2& 2ac& a^2+2bc& 2ab& b^2\\ & & & & & & c^2& 2ac& a^2+2bc& 2ab\\ & & & & & & & c^2& 2ac& a^2+bc\end{array}\right).$$

解答

设题目中的矩阵为 A, 下列矩阵 B 为三对角矩阵:

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}a& b& & \\ c& a& \ddots & \\ & \ddots & \ddots & b\\ & & c& a\end{array}\right),$$

则容易验证 $A=B^2$ . 于是 $|A|=|B{|}^2$ , 其中 $|B|$ 的表达式请参考例 1.14.