问题 2017A08

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问题 2017A08

设 A, B 是 2 阶方阵, 若存在 2 阶方阵 P, Q, 使得 A = PQ 且 B = QP, 则记为 A#B. 证明: 在所有 2 阶方阵构成的集合中, # 是一个等价关系.

解答

$♯$ 关系的自反性和对称性是显然的. 若 $A♯B$ , 则由行列式的性质和矩阵迹的性质可知 $|A|=|B|$ , $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$ , 即矩阵的行列式和迹是 $♯$ 关系下的不变量. 我们先来证一个简单的引理.

引理若 $A,B\in M_n(\mathbb{K})$ 相似, 即存在非异阵 P, 使得 $B=P^{-1}AP$ , 则 $A\#B$ .

引理的证明令 $Q=P^{-1}A$，则有 $A=PQ,B=QP$，即 $A\nmid B$ .

下面按照 2 阶矩阵的行列式和迹, 把 $M_2(\mathbb{K})$ 分成三个互不相交的子集 $S_1,S_2,S_3$ , 分别来证明 $♯$ 关系的传递性.

(1) 考虑子集 $S_1=\{A\in M_2(\mathbb{K})\mid |A|\ne 0\}$，即 2 阶非异阵全体。设 $A,B\in S_1$ 且 $A\nmid B$，则存在非异阵 $P,Q\in M_2(\mathbb{K})$，使得 $A=PQ,B=QP$，故 $B=P^{-1}AP$，即 $A,B$ 相似。因此由引理可知， $S_1$ 中的 $♯$ 关系等价于相似关系，从而满足传递性（参考高代教材命题 4.3.1）。 (2) 考虑子集 $S_2=\{A\in M_2(\mathbb{K})\mid |A|=0,\mathrm{tr}(A)\ne 0\}$, 任取 $A=(a_{ij})\in S_2$ , 则 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}=0$ 且 $a_{11}+a_{22}\ne 0$ . 以下不妨设 $a_{21}\ne 0(a_{12}\ne 0$ 情形的讨论完全类似), 令 $P=\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{11}\\ -a_{21}& a_{21}\end{array}\right)$, 则 $|P|=a_{21}(a_{11}+a_{22})\ne 0$ 且满足

$$\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{11}\\ -a_{21}& a_{21}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{11}\\ -a_{21}& a_{21}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& a_{11}+a_{22}\end{array}\right)=\mathbf{P}\mathbf{C},$$

即有 $P^{-1}AP=C=\mathrm{diag}\{0,\mathrm{tr}(A)\}$ . 同理任取 $B\in S_2$ , 存在非异阵 $Q\in M_2(\mathbb{K})$ , 使得 $Q^{-1}BQ=\mathrm{diag}\{0,\mathrm{tr}(B)\}$ . 若此时 $A♯B$ , 则由 $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$ 可得 $P^{-1}AP=Q^{-1}BQ$ , 于是 $B=(P{Q}^{-1}{)}^{-1}A(P{Q}^{-1})$ , 即 $A,B$ 相似. 因此由引理可知, $S_2$ 中的 $♯$ 关系也等价于相似关系, 从而满足传递性.

(3) 考虑子集 $S_3=\{A\in M_2(\mathbb{K})\mid |A|=\text{tr}(A)=0\}$，任取 $A=(a_{ij})\in S_3$，则 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}=0$ 且 $a_{11}+a_{22}=0$ . 若 $a_{12}=a_{21}=0$，则 $a_{11}=a_{22}=0$，即 $A=O$ . 若 $a_{12},a_{21}$ 不全为零，则由 问题 2017A04 完全类似的讨论可知，存在非异阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. 这就是说， $S_3$ 中除了零矩阵之外，其余非零矩阵都相似于 $N$，从而它们彼此之间相似. 令 $Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，则容易验证 $(N{P}^{-1})(PQ)=NQ=O$ , $(PQ)(N{P}^{-1})=P(QN)P^{-1}=PN{P}^{-1}=A$，于是 $A\nparallel O$ . 因此由引理可知， $S_3$ 中任意两个矩阵都满足 $♯$ 关系，故其传递性是平凡的.