问题 2016A06

依赖于

• 例 2.2

被以下题目直接调用

• 无

问题 2016A06

下列矩阵称为 Toeplitz 矩阵或位移矩阵 (一列数 $a_{-(n-1)},\cdots ,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1}$ 依次向右平移一位):

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_1& a_2& \dots & a_{n-1}\\ a_{-1}& a_0& a_1& \dots & a_{n-2}\\ a_{-2}& a_{-1}& a_0& \dots & a_{n-3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{-(n-2)}& a_{-(n-3)}& a_{-(n-4)}& \dots & a_1\\ a_{-(n-1)}& a_{-(n-2)}& a_{-(n-3)}& \dots & a_0\end{array}\right).$$

(1) 设 $N=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$， $M=N^{\prime }$，证明：

$$\mathbf{A}=a_{-(n-1)}{\mathbf{M}}^{n-1}+\cdots +a_{-2}{\mathbf{M}}^2+a_{-1}\mathbf{M}+a_0{\mathbf{I}}_n+a_1\mathbf{N}+a_2{\mathbf{N}}^2+\cdots +a_{n-1}{\mathbf{N}}^{n-1};$$

(2) $n$ 阶上三角 (下三角) Toeplitz 矩阵全体记为 $T_U(T_L)$ , 证明: 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in T_U(T_L)$ , 则 $\mathbf{AB}\in T_U(T_L)$ ; 若 $\mathbf{A}\in T_U(T_L)$ 为非异阵, 则 ${\mathbf{A}}^{-1}\in T_U(T_L)$ ; (3) 举例说明: 存在 $n$ 阶 Toeplitz 矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ , 使得 $\mathbf{AB}$ 不是 Toeplitz 矩阵; 存在 $n$ 阶非异 Toeplitz 矩阵 $\mathbf{A}$ , 使得 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 不是 Toeplitz 矩阵.

解答

(i) 由例 2.2 及其转置版本即得分解式. (ii) 只证 $T_U$ 的情形, $T_L$ 的情形由转置即得. 设 $A=a_0{I}_n+a_{1}N+\cdots +a_{n-1}{N}^{n-1}$ , $B=b_0{I}_n+b_{1}N+\cdots +b_{n-1}{N}^{n-1}$ , 则由 $N^n=O$ 可将 AB 整理为 N 的小于 n 次的多项式, 于是 $AB\in T_U$ . 若 $A=a_0{I}_n+a_{1}N+\cdots +a_{n-1}{N}^{n-1}$ 为非异阵, 则 $a_0\ne 0$ . 令 $A^{-1}=a_0^{-1}{I}_n+x_{1}N+\cdots +x_{n-1}{N}^{n-1}$ , 则由 $A{A}^{-1}=I_n$ 可以依次唯一地确定 $x_1,\cdots ,x_{n-1}$ , 这也说明 $A^{-1}\in T_U$ . (iii) 例如, $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\in T_U$ , $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\in T_L$ , 但 $AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 不是 Toeplitz 矩阵. 例如, $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 1& 2\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$ 是非异 Toeplitz 矩阵, 容易验证 $A^{-1}$ 的主对角元不全部相同, 从而不是 Toeplitz 矩阵.