第 2 章解答题 13

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例 2.14
例 2.56

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第 2 章解答题 13

设 $b$ 为非零常数，下列形状的矩阵称为 $b$ -循环矩阵：
$A = a_{1} b a_{n} b a_{n - 1} ⋮ b a_{2} a_{2} a_{1} b a_{n} ⋮ b a_{3} a_{3} a_{2} a_{1} ⋮ b a_{4} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{1} .$
(1) 证明：同阶 $b$ -循环矩阵的乘积仍然是 $b$ -循环矩阵；

(2) 求上述 $b$ -循环矩阵 $A$ 的行列式的值。

解答

本题是例 2.14 和例 2.56 的推广。

(1) 设

J_{b} = (O b I_{n - 1} O),

则 $J_{b}^{n} = b I_{n}$ ，且

A = a_{1} I_{n} + a_{2} J_{b} + a_{3} J_{b}^{2} + \dots + a_{n} J_{b}^{n - 1} .

因此同阶 $b$ -循环矩阵的乘积仍然是 $b$ -循环矩阵。

(2) 作多项式

f (x) = a_{1} + a_{2} x + a_{3} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n - 1},

令 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 是 $b$ 的所有 $n$ 次方根，完全类似于例 2.56 的解法，最后可得

∣ A ∣ = f (ε_{1}) f (ε_{2}) \dots f (ε_{n}) .

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