例 2.9

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• 问题 2017A07

例 2.9

求证：

(1) $m\times n$ 实矩阵 $A$ 适合条件 $A{A}^{\prime }=O$ 的充要条件是 $A=O$；

(2) $m\times n$ 复矩阵 $A$ 适合条件 $A{A}^{\prime }=O$ 的充要条件是 $A=O$。

解答

证明 (1) 设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，则 $A{A}^{\prime }$ 的第 $(i,i)$ 元素等于零，即

$$a_{i1}^2+a_{i2}^2+\cdots +a_{in}^2=0.$$

因为 $a_{ij}$ 都是实数，必有 $a_{ij}=0$。

(2) 同理可证明。$\square$