问题 2017A07

依赖于

• 例 2.9

被以下题目直接调用

• 无

问题 2017A07

设 $A=B+C$，其中 B 是 n 阶实对称阵，C 是 n 阶实反对称阵，满足 BC = O。证明：若 $A^2=O$，则 A = O。

解答

注意到 $B^{\prime }=B$ , $C^{\prime }=-C$ , 故由 $BC=O$ 转置可得 $CB=O$ . 再由 $O=A^2=(B+C{)}^2=B^2+BC+CB+C^2=B^2+C^2$ 可得 $B^2=-C^2$ , 于是 $B^4=-B^2{C}^2=-B(BC)C=O$ . 由于 $B$ 为实对称阵, 故 $B^2(B^2{)}^{\prime }=O$ , 从而由例 2.9 可得 $B^2=O$ , 这即为 $B{B}^{\prime }=O$ , 于是 $B=O$ . 另一方面可得 $C^2=O$ , 从而 $C{C}^{\prime }=O$ , 再次由例 2.9 可得 $C=O$ , 于是 $A=B+C=O$ .