例 2.71

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 2.72
• 例 2.73

例 2.71

设 $A,B$ 是 $n$ 阶复矩阵，求证：

$$\left|\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right|=|A+iB||A-iB|.$$

解答

证明 将分块矩阵的第二行乘以 $i$ 加到第一行上，再将第一列乘以 $-i$ 加到第二列上，可得

$$\left(\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A+iB& iA-B\\ B& A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A+iB& O\\ B& A-iB\end{array}\right).$$

第三类分块初等变换不改变行列式的值，因此可得

$$\left|\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A+iB& O\\ B& A-iB\end{array}\right|=|A+iB||A-iB|.$$