例 2.7

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• 无显式依赖

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• 20 级高代 I 期中 07

例 2.7

若 $A,B$ 都是由非负实数组成的矩阵且 $AB$ 有一行等于零，求证：或者 $A$ 有一行为零，或者 $B$ 有一行为零。

解答

证明 设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$B=(b_{ij}{)}_{n\times s}$。假设 $C=AB$，$C=(c_{ij}{)}_{m\times s}$ 的第 $i$ 行为零，则对任意的 $j$，

$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}=0.$$

已知 $a_{ij}\ge 0$，$b_{ij}\ge 0$。若 $A$ 的第 $i$ 行元素不全为零，不妨设 $a_{ik}\ne 0$，而 $a_{il}=0(l=1,\dots ,k-1)$，则 $b_{kj}=0$ 对一切 $j$ 成立，这就是 $B$ 的第 $k$ 行为零。$\square$

上（下）三角阵是指主对角线下（上）方所有元素全为零的方阵，它们在矩阵理论中发挥了重要的作用。