例 2.50

依赖于

• 例 2.46

被以下题目直接调用

• 无

例 2.50

设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，使得 $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(CBA)$ 对任意 $n$ 阶矩阵 $C$ 成立，求证：$AB=BA$。

解答

证明 设 $AB=(d_{ij})$，$BA=(e_{ij})$，令 $C=E_{kl}(1\le k,l\le n)$，则

$$\mathrm{tr}(ABC)=d_{lk},\mathrm{tr}(CBA)=e_{lk},$$

因此 $d_{lk}=e_{lk}(1\le k,l\le n)$，即有 $AB=BA$。

注 若 $A,B$ 是实（复）矩阵，我们还可以通过迹的正定性来证明结论。事实上，由迹的交换性和线性可得 $\mathrm{tr}((AB-BA)C)=0$，令 $C$ 为 $AB-BA$ 的转置（共轭转置），再由例 2.46 即得结论。