例 2.48

依赖于

• 例 2.46
• 例 2.30

被以下题目直接调用

• 无

例 2.48

证明下列结论：

(1) 设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 适合 $A^{\prime }=-A$，如果存在同阶实矩阵 $B$，使得 $AB=B$，则 $B=O$；

(2) 设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 适合 ${\overline{A}}^{\prime }=-A$，如果存在同阶复矩阵 $B$，使得 $AB=B$，则 $B=O$。

解答

证明 (1) 在等式 $AB=B$ 两边同时左乘 $B^{\prime }$ 可得

$$B^{\prime }AB=B^{\prime }B.$$

上式两边同时转置并注意到 $A^{\prime }=-A$，可得

$$B^{\prime }B=(B^{\prime }B{)}^{\prime }=(B^{\prime }AB{)}^{\prime }=B^{\prime }{A}^{\prime }B=-B^{\prime }AB=-B^{\prime }B,$$

从而有 $B^{\prime }B=O$。两边同时取迹，由例 2.46 可得 $B=O$。

(2) 的证明与 (1) 类似。

注 例 2.48 也可用例 2.30 及其复版本来证明，我们把细节留给读者完成。