例 2.42

依赖于

例 2.42

设 $n$ 阶矩阵
$A = 200 ⋮ 0 210 ⋮ 0 211 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots 211 ⋮ 1,$
求 $\sum_{i, j = 1}^{n} A_{ij}$ 。

解法 1 显然 $∣ A ∣ = 2$ ，用初等变换不难求出

A^{- 1} = \frac{1}{2} 0 ⋮ 00 - 1 1 ⋮ 00 0 - 1 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 10 00 ⋮ - 1 1,

故

A^{*} = 2 A^{- 1} = 10 ⋮ 00 - 2 2 ⋮ 00 0 - 2 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 20 00 ⋮ - 2 2 .

将 $A^{*}$ 的所有元素加起来，可得 $\sum_{i, j = 1}^{n} A_{ij} = 1$ 。

解法 2 由例 1.7 可得

- i, j = 1 \sum n A_{ij} = 200 ⋮ 01 210 ⋮ 01 211 ⋮ 01 \dots \dots \dots \dots \dots 211 ⋮ 11 111 ⋮ 10 = 200 ⋮ 00 210 ⋮ 00 211 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots \dots 211 ⋮ 10 111 ⋮ 1 - \frac{1}{2} = - 1,

于是 $\sum_{i, j = 1}^{n} A_{ij} = 1$ 。

解法 3 由例 1.22 可得 $∣ A (- 1) ∣ = ∣ A ∣ - \sum_{i, j = 1}^{n} A_{ij}$ ，又 $∣ A ∣ = 2$ 且

∣ A (- 1) ∣ = 1 - 1 - 1 ⋮ - 1 10 - 1 ⋮ - 1 \dots \dots \dots \dots 100 ⋮ - 1 100 ⋮ 0 = (- 1)^{n + 1} - 1 - 1 ⋮ - 1 0 - 1 ⋮ - 1 \dots \dots \dots 00 ⋮ - 1 = 1,

故 $\sum_{i, j = 1}^{n} A_{ij} = ∣ A ∣ - ∣ A (- 1) ∣ = 1$ 。

解法 4 由例 1.49 可得

i, j = 1 \sum n A_{ij} = 0 - 1 0 ⋮ 0 00 - 1 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ - 1 111 ⋮ 1 = (- 1)^{n + 1} - 1 0 ⋮ 0 0 - 1 ⋮ 0 \dots \dots \dots 00 ⋮ - 1 = 1.