例 2.41

依赖于

• 例 2.38

被以下题目直接调用

• 无

例 2.41

已知

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 2& -2\\ -1& 2& 1\end{array}\right),$$

求 $A$。

解答

解 计算行列式可得 $|A^{\ast }|=4$，由例 2.38 可知，$|A^{\ast }|=|A{|}^2=4$，从而 $|A|=\pm 2$。若 $|A|=2$，则

$$A^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -1& \frac{1}{2}\\ 0& 1& -1\\ -\frac{1}{2}& 1& \frac{1}{2}\end{array}\right),$$

于是

$$A=(A^{-1}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right).$$

若 $|A|=-2$，则 $A^{-1}=-\frac{1}{2}{A}^{\ast }$，于是

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& -1\\ -1& -1& -1\\ -1& 0& -1\end{array}\right).$$