例 2.31

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• 无显式依赖

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• 例 2.32

例 2.31

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆阵，求证：只用第三类初等变换就可以将 $A$ 化为如下形状：

$$\mathrm{diag}\{1,\dots ,1,|A|\}.$$

解答

证明 假设 $A$ 的第 $(1,1)$ 元素等于零，因为 $A$ 可逆，故第一行必有元素不为零，用第三类初等变换将非零元素所在的列加到第一列，则得到的矩阵中第 $(1,1)$ 元素不为零。因此不妨设 $A$ 的第 $(1,1)$ 元素非零，于是可用第三类初等变换将 $A$ 的第一行及第一列其余元素都消为零。这就是说，$A$ 经过第三类初等变换可化为如下形式：

$$\left(\begin{array}{cc}a& O\\ O& A_1\end{array}\right).$$

再对 $A_1$ 同样处理，不断做下去，可将 $A$ 化为对角阵。因此我们只要对对角阵证明结论即可。为简化讨论，我们先考虑二阶矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right).$$

将其第一行乘以 $(1-a)a^{-1}$ 加到第二行上，再将第二行加到第一行上得到：

$$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1-a& b\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 1-a& b\end{array}\right).$$

将其第一列乘以 $-b$ 加到第二列上，再将第一行乘以 $a-1$ 加到第二行上得到：

$$\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 1-a& b\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1-a& ab\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& ab\end{array}\right).$$

显然上述方法对 $n$ 阶对角阵也适用，而我们所用的初等变换始终是第三类初等变换。这就得到了结论。$\square$