例 2.32

依赖于

例 2.32

求证：任一 $n$ 阶矩阵均可表示为形如 $I_{n} + a_{ij} E_{ij}$ 这样的矩阵之积，其中 $E_{ij}$ 是 $n$ 阶基础矩阵。

证明任意一个 $n$ 阶矩阵都可表示为有限个初等阵和具有下列形状的对角阵 $D$ 之积：

D = diag {1, \dots, 1, 0, \dots, 0},

故只要对初等阵和 $D$ 证明结论即可。对 $D$ ，假设 $D$ 有 $r$ 个 1，则

D = (I_{n} - E_{r + 1, r + 1}) \dots (I_{n} - E_{nn}) .

第三类初等阵已经是这种形状了。对第二类初等阵 $P_{i} (c)$ ，显然我们有

P_{i} (c) = I_{n} + (c - 1) E_{ii} .

对第一类初等阵 $P_{ij}$ ，由例 2.31 可知，只用第三类初等变换就可以将 $P_{ij}$ 化为 $P_{n} (- 1) = diag {1, \dots, 1, - 1}$ ，因此对第一类初等阵结论也成立。具体地，我们可以写出：

P_{ij} = (I_{n} - E_{ij}) (I_{n} + E_{j i}) (I_{n} - 2 E_{j j}) (I_{n} + E_{ij}) .

$□$