例 2.1

依赖于

例 2.1

设 $n$ 阶基础循环矩阵
$A = 00 ⋮ 01 10 ⋮ 00 01 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 10,$
求证：
$A^{k} = (O I_{k} I_{n - k} O), 1 \leq k \leq n .$

证明将 $A$ 写为 $A = (e_{n}, e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n - 1})$ ，其中 $e_{i}$ 是标准单位列向量。由分块矩阵乘法并注意 $A e_{i}$ 就是 $A$ 的第 $i$ 列，因此

A^{2} = (A e_{n}, A e_{1}, A e_{2}, \dots, A e_{n - 1}) = (e_{n - 1}, e_{n}, e_{1}, \dots, e_{n - 2}) .

不断这样做下去就可得到结论。 $□$