第 1 章解答题 8

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• 无显式依赖

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• 例 1.13

第 1 章解答题 8

令

$$(a_1{a}_2\cdots a_n)=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_1& 1& & & & \\ -1& a_2& 1& & & \\ & -1& a_3& \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & a_{n-1}& 1\\ & & & & -1& a_n\end{array}\right|,$$

证明关于连分数的如下等式成立：

$$a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots +\frac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_n}}}}}=\frac{(a_1{a}_2\cdots a_n)}{(a_2{a}_3\cdots a_n)}.$$

解答

行列式按第一列展开得到递推式，再对 $n$ 进行归纳即得。