第 1 章解答题 13

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• 例 8.42

第 1 章解答题 13

设 $|A|$ 是 $n$ 阶行列式，$|A|$ 的第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}=\max \{i,j\}$，试求 $|A|$ 的值。

解答

写出行列式为

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \cdots & n\\ 2& 2& 3& \cdots & n\\ 3& 3& 3& \cdots & n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ n& n& n& \cdots & n\end{array}\right|.$$

依次将第 $i$ 行乘以 $-1$ 加到第 $i-1$ 行上去 $(i=2,\cdots ,n)$，就可以得到一个下三角行列式，求得值为 $(-1{)}^{n-1}n$。