例 1.32

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• 无显式依赖

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• 问题 2016A03
• 问题 2021A02

例 1.32

求下列 $n$ 阶行列式的值 $(1\le i\le n-1)$：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccccccc}1& x_1& \cdots & x_1^{i-1}& x_1^{i+1}& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2& \cdots & x_2^{i-1}& x_2^{i+1}& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^{i-1}& x_n^{i+1}& \cdots & x_n^n\end{array}\right|.$$

解答

解 注意这个行列式和 Vandermonde 行列式的区别在于它缺少 $i$ 次幂的列。现添上一行一列使之成为 Vandermonde 行列式，再求出 $y^i$ 的系数即可得到结果为 \begingroup

$$\begin{array}{rl}|B|=\left|\begin{array}{cccccccc}1& x_1& \cdots & x_1^{i-1}& x_1^i& x_1^{i+1}& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2& \cdots & x_2^{i-1}& x_2^i& x_2^{i+1}& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^{i-1}& x_n^i& x_n^{i+1}& \cdots & x_n^n\\ 1& y& \cdots & y^{i-1}& y^i& y^{i+1}& \cdots & y^n\end{array}\right|& =(y-x_1)(y-x_2)\cdots (y-x_n)\\ & \times \prod _{1\le p<q\le n}(x_q-x_p).\end{array}$$

\endgroup 因此 $y^i$ 的系数是

$$\left(\sum _{1\le k_1<k_2<\cdots <k_{n-i}\le n}(-1{)}^{n-i}{x}_{k_1}{x}_{k_2}\cdots x_{k_{n-i}}\right)\prod _{1\le p<q\le n}(x_q-x_p).$$

而 $|B|$ 中元素 $y^i$ 的代数余子式为 $(-1{)}^{n+1+i+1}|A|=(-1{)}^{n+i}|A|$，因此

$$|A|=\left(\sum _{1\le k_1<k_2<\cdots <k_{n-i}\le n}{x}_{k_1}{x}_{k_2}\cdots x_{k_{n-i}}\right)\prod _{1\le p<q\le n}(x_q-x_p).\square$$