问题 2021A02

依赖于

• 例 1.32

被以下题目直接调用

• 无

问题 2021A02

求下列 n 阶行列式的值:

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& \dots & x_1^{n-2}& (x_2+x_3+\cdots +x_n{)}^n\\ 1& x_2& \dots & x_2^{n-2}& (x_1+x_3+\cdots +x_n{)}^n\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2}& (x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}{)}^n\end{array}\right|.$$

解答

记 $s=x_1+x_2+\cdots +x_n$，则 $|A|$ 的第 $(i,n)$ 元素可展开为

$$(x_1+\cdots +\widehat{x_i}+\cdots +x_n{)}^n=(s-x_i{)}^n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\mathrm{C}}_n^k{s}^{n-k}{x}_i^k.$$

将 $|A|$ 的第 j 列乘以 $(-1{)}^j{\mathrm{C}}_n^{j-1}{s}^{n-j+1}$ 加到第 n 列上 $(j=1,\cdots ,n-1)$，得到行列式的最后一列的元素为 $(-1{)}^{n-1}ns{x}_i^{n-1}+(-1{)}^n{x}_i^n$，再对最后一列进行拆分，由例 1.32 可得

$$\begin{array}{l}|\mathbf{A}|=(-1{)}^{n-1}ns\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& \dots & x_1^{n-2}& x_1^{n-1}\\ 1& x_2& \dots & x_2^{n-2}& x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2}& x_n^{n-1}\end{array}\right|+(-1{)}^n\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& \dots & x_1^{n-2}& x_1^n\\ 1& x_2& \dots & x_2^{n-2}& x_2^n\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2}& x_n^n\end{array}\right|\\ =(-1{)}^{n-1}ns{\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)+(-1{)}^{n}s{\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\\ =(-1{)}^{n-1}(n-1){\sum }_{i=1}^n{x}_i{\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).\end{array}$$