例 1.30

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 2.75
• 例 4.10

例 1.30

设多项式

$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$

若 $f(x)$ 有 $n+1$ 个不同的根 $b_1,b_2,\cdots ,b_{n+1}$，即 $f(b_1)=f(b_2)=\cdots =f(b_{n+1})=0$，求证：$f(x)$ 是零多项式，即 $a_n=a_{n-1}=\cdots =a_1=a_0=0$。

解答

证明 由假设 $x_0=a_0,x_1=a_1,\cdots ,x_{n-1}=a_{n-1},x_n=a_n$ 是下列线性方程组的解：

$$\{\begin{array}{l}{x}_0+b_1{x}_1+\cdots +b_1^{n-1}{x}_{n-1}+b_1^n{x}_n=0,\\ x_0+b_2{x}_1+\cdots +b_2^{n-1}{x}_{n-1}+b_2^n{x}_n=0,\\ \text{multicolumn}1c\cdots \cdots \cdots \\ x_0+b_{n+1}{x}_1+\cdots +b_{n+1}^{n-1}{x}_{n-1}+b_{n+1}^n{x}_n=0.\end{array}$$

上述线性方程组的系数行列式是一个 Vandermonde 行列式，由于 $b_1,b_2,\cdots ,b_{n+1}$ 互不相同，所以系数行列式不等于零。由 Cramer 法则可知上述线性方程组只有零解，即有 $a_n=a_{n-1}=\cdots =a_1=a_0=0$。$\square$