例 2.75

依赖于

• 例 1.30

被以下题目直接调用

• 无

例 2.75

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，求证：存在一个正数 $a$，使得对任意的 $0<t<a$，矩阵 $t{I}_n+A$ 都是非异阵。

解答

证明 通过简单的计算可得

$$|t{I}_n+A|=t^n+a_1{t}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}t+a_n,$$

这是一个关于未定元 $t$ 的 $n$ 次多项式。由例 1.30 可知上述多项式至多只有 $n$ 个不同的根。若上述多项式的根都是零，则不妨取 $a=1$；若上述多项式有非零根，则令 $a$ 为 $|t{I}_n+A|$ 所有非零根的模长的最小值。因此对任意的 $0<t_0<a$，$t_0$ 都不是 $|t{I}_n+A|$ 的根，即 $|t_0{I}_n+A|\ne 0$，从而 $t_0{I}_n+A$ 是非异阵。