例 1.23

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 1 章解答题 12
• 例 6.6

例 1.23

计算 $n$ 阶行列式：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & b\\ c& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c& c& \cdots & a\end{array}\right|.$$

解答

解 令

$$|A(t)|=\left|\begin{array}{cccc}a+t& b+t& \cdots & b+t\\ c+t& a+t& \cdots & b+t\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c+t& c+t& \cdots & a+t\end{array}\right|=|A|+tu,u=\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}.$$

注意 $u$ 和 $t$ 无关。当 $t=-b$ 时，可得

$$|A(-b)|=\left|\begin{array}{cccc}a-b& 0& \cdots & 0\\ c-b& a-b& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c-b& c-b& \cdots & a-b\end{array}\right|=|A|-bu=(a-b{)}^n.$$

同理，当 $t=-c$ 时，$|A(-c)|=|A|-cu=(a-c{)}^n$。若 $b\ne c$，消去 $u$ 可得

$$|A|=\frac{b(a-c{)}^n-c(a-b{)}^n}{b-c}.$$

若 $b=c$，这是一个各行和相等的行列式，用求和法可得

$$|A|=(a+(n-1)b)(a-b{)}^{n-1}.\square$$