例 1.22

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 1.49
• 例 1.50
• 例 2.42

例 1.22

设 $t$ 是一个参数，

$$|A(t)|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}+t& a_{12}+t& \cdots & a_{1n}+t\\ a_{21}+t& a_{22}+t& \cdots & a_{2n}+t\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}+t& a_{n2}+t& \cdots & a_{nn}+t\end{array}\right|,$$

求证：

$$|A(t)|=|A(0)|+t\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij},$$

其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 在 $|A(0)|$ 中的代数余子式。

解答

证明 将行列式的第一列拆成两列再展开：

$$\begin{array}{rl}|A(t)|& =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}+t& \cdots & a_{1n}+t\\ a_{21}& a_{22}+t& \cdots & a_{2n}+t\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}+t& \cdots & a_{nn}+t\end{array}\right|\\ & +\left|\begin{array}{cccc}t& a_{12}+t& \cdots & a_{1n}+t\\ t& a_{22}+t& \cdots & a_{2n}+t\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ t& a_{n2}+t& \cdots & a_{nn}+t\end{array}\right|.\end{array}$$

上式右边的第二个行列式用 $-1$ 乘以第一列加到后面的列上去，得到：

$$\left|\begin{array}{cccc}t& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ t& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ t& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=t(A_{11}+A_{21}+\cdots +A_{n1}).$$

再对另一个行列式的第二列拆成两列展开，不断这样做下去就可得到结论。$\square$