例 1.20

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• 问题 2022A03

例 1.20

设 $n(n>2)$ 阶行列式 $|A|$ 的所有元素或为 $1$ 或为 $-1$，求证：$|A|$ 的绝对值小于等于 $\frac{2}{3}n!$。

解答

证明 对阶数 $n$ 进行归纳。当 $n=3$ 时，将 $|A|$ 的第一列中元素等于 $-1$ 的行乘以 $-1$，$|A|$ 的绝对值不变，因此不妨设 $|A|$ 的第一列元素全是 $1$。用同样方法将 $|A|$ 的第一行除 $(1,1)$ 元素外的元素全变成 $-1$。将第一列加到第二、第三列上，可得

$$\mathrm{abs}(|A|)=\mathrm{abs}\left(\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& a& b\\ 1& c& d\end{array}\right|\right),$$

其中 $\mathrm{abs}$ 表示绝对值。由于 $a,b,c,d$ 为 $0$ 或 $2$，故

$$\mathrm{abs}(|A|)=\mathrm{abs}(ad-bc)\le 4=\frac{2}{3}3!.$$

假设 $n-1$ 阶时结论成立，现证明 $n$ 阶的情形。将 $|A|$ 按第一行展开：

$$|A|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+\cdots +a_{1n}{A}_{1n}.$$

因为 $a_{1i}=\pm 1$，故

$$\begin{array}{rl}\mathrm{abs}(|A|)& \le \mathrm{abs}(A_{11})+\mathrm{abs}(A_{12})+\cdots +\mathrm{abs}(A_{1n})\\ & \le n\cdot \frac{2}{3}(n-1)!=\frac{2}{3}n!.\square \end{array}$$