问题 2022A03

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• 例 1.20

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• 无

问题 2022A03

n 阶行列式 $|A|$ 的组合定义为

$$|\mathbf{A}|=\sum _{(k_1,k_2,\dots ,k_n)\in S_n}(-1{)}^{N(k_1,k_2,\dots ,k_n)}{a}_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\dots a_{k_{n}n}.$$

证明: 不存在元素 $a_{ij}$ 都是实数的 $n(n\ge 3)$ 阶行列式 $|A|$，使得对任意的 $(k_1,k_2,\cdots ,k_n)\in S_n$，成立

$$(-1{)}^{N(k_1,k_2,\dots ,k_n)}{a}_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\dots a_{k_{n}n}>0.$$

解答

用反证法, 假设存在元素 $a_{ij}$ 都是实数的 $n(n\ge 3)$ 阶行列式 $|A|$ , 使得 $|A|$ 的组合定义中每个包括符号的单项都大于零. 下面用三种方法来讨论.

方法 1 (二阶子式) 考虑前两行和前两列构成的二阶子式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$，由假设可知

$$a_{11}{a}_{22}{a}_{33}\dots a_{nn}>0,-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}\dots a_{nn}>0,$$

因此 $a_{11}{a}_{22}{a}_{12}{a}_{21}<0$。注意到 $n\ge 3$ , 同理考虑二阶子式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|$ 和 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|$, 可得 $a_{12}{a}_{23}{a}_{13}{a}_{22}<0$ , 且 $a_{13}{a}_{21}{a}_{11}{a}_{23}<0$ . 由此可得

$$(a_{11}{a}_{12}{a}_{13}{a}_{21}{a}_{22}{a}_{23}{)}^2=(a_{11}{a}_{22}{a}_{12}{a}_{21})(a_{12}{a}_{23}{a}_{13}{a}_{22})(a_{13}{a}_{21}{a}_{11}{a}_{23})<0,$$

矛盾.

方法 2 (三阶子式) 考虑前三行和前三列构成的三阶子式 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$，若设 D = $a_{44}\cdots a_{nn},T={\prod }_{i,j=1}^3{a}_{ij}$，则由假设可知

$$a_{11}{a}_{22}{a}_{33}D>0,a_{21}{a}_{32}{a}_{13}D>0,a_{31}{a}_{12}{a}_{23}D>0,\text{\hspace{1em}(17.2)}$$ $$a_{11}{a}_{32}{a}_{23}D<0,a_{21}{a}_{12}{a}_{33}D<0,a_{31}{a}_{22}{a}_{13}D<0.\text{\hspace{1em}(17.3)}$$

将 (17.2) 中三式乘在一起可得 $T{D}^3>0$ , (17.3) 中三式乘在一起可得 $T{D}^3<0$ , 矛盾. 方法 3 (行列式值) 将 $|\mathbf{A}|$ 的每个元素 $a_{ij}$ 换成 $\frac{a_{ij}}{|a_{ij}|}$ (元素的正负性不变), 得到的新行列式记为 $|\mathbf{B}|$ , 则 $|\mathbf{B}|$ 的每个元素为 1 或 -1, 并且 $|\mathbf{B}|$ 的组合定义中每个包括符号的单项都大于零, 从而每个包括符号的单项都等于 1, 于是 $|\mathbf{B}|=n!$ . 另一方面, 由例 1.20 可知 $\mathrm{abs}(|\mathbf{B}|)\le \frac{2}{3}n!$ , 矛盾.