例 1.19

依赖于

例 1.13

被以下题目直接调用

例 1.19

设 $n$ 阶行列式
$A_{n} = a_{0} + a_{1} a_{1} 0 ⋮ 0 a_{1} a_{1} + a_{2} a_{2} ⋮ 0 0 a_{2} a_{2} + a_{3} ⋮ 0 00 a_{3} ⋮ \dots \dots \dots \dots a_{n - 1} 000 ⋮ a_{n - 1} + a_{n},$
求证：
$A_{n} = a_{0} a_{1} \dots a_{n} (\frac{1}{a _{0}} + \frac{1}{a _{1}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}) .$

解答

证明对阶数 $n$ 进行归纳， $n = 1, 2$ 时结论显然成立。假设阶数小于 $n$ 时结论成立，现证明 $n$ 阶的情形。由例 1.13 可知递推式为

A_{n} = (a_{n - 1} + a_{n}) A_{n - 1} - a_{n - 1}^{2} A_{n - 2},

将归纳假设代入上面的式子即得结论。 $□$

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