例 1.15

依赖于

• 例 1.14

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• 无

例 1.15

求证：$n$ 阶行列式

$$|A|=\left|\begin{array}{ccccccc}\cos x& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2\cos x& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos x& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\cos x& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 2\cos x\end{array}\right|=\cos nx.$$

解答

证明 由行列式的性质 6，将 $|A|$ 的第一列进行拆分，可得

$$\begin{array}{rl}|A|& =\left|\begin{array}{ccccccc}2\cos x& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2\cos x& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos x& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\cos x& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 2\cos x\end{array}\right|\\ & -\left|\begin{array}{ccccccc}\cos x& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 2\cos x& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos x& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\cos x& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 2\cos x\end{array}\right|\\ & =D_n-\cos x{D}_{n-1},\end{array}$$

其中 $D_n$ 是形如例 1.14 的行列式，其中 $a=2\cos x,b=c=1$。根据例 1.14 的结论，可以事先解出：

$$\alpha =\cos x+\mathrm{i}\sin x,\beta =\cos x-\mathrm{i}\sin x.$$

若 $x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$，则 $\alpha \ne \beta$，从而

$$\begin{array}{rl}{D}_n& =\frac{{\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1}}{\alpha -\beta }\\ & =\frac{(\cos (n+1)x+\mathrm{i}\sin (n+1)x)-(\cos (n+1)x-\mathrm{i}\sin (n+1)x)}{(\cos x+\mathrm{i}\sin x)-(\cos x-\mathrm{i}\sin x)}\\ & =\frac{\sin (n+1)x}{\sin x},\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}|A|& =D_n-\cos x{D}_{n-1}=\frac{\sin (n+1)x-\cos x\sin nx}{\sin x}\\ & =\cos nx.\end{array}$$

若 $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$，则 $\alpha =\beta$，从而

$$D_n=(n+1){\left(\frac{a}{2}\right)}^n=(n+1)(\cos x{)}^n=(n+1)(-1{)}^{kn},$$ $$\begin{array}{rl}|A|& =D_n-\cos x{D}_{n-1}=(n+1)(-1{)}^{kn}-(-1{)}^{k}n(-1{)}^{k(n-1)}\\ & =(-1{)}^{kn}=\cos nx.\square \end{array}$$